A matematika, ahogy mi ismerjük és használjuk, egy emberi találmány, alapjait,
szabályait és működését mi alkottuk logikánk segítségével. Tükröződik benne az
emberi ráció fejlettsége (vagy fejletlensége), de közvetett módon benne
foglaltatik az emberi tudat világról alkotott képe is. A számok használatában
felfedezhetők azok az ősi eljárások, amiket a régi korok hagytak ránk, illetve
a kinti idegenek hagyományoztak az akkor élt emberekre.
Mára eljutottunk az absztrakció azon fokára, amikor a matematikát, mint
tudományt és annak belső működését is le tudjuk írni. Az egészet lecsupaszítottuk a
működtető logikai alapokig, amiből tetszőleges formális nyelv, vagy akár új
működésű matematikai apparátus is felépíthető.
Az információs technológia egyik alappillére - a formális nyelvek megalkotása a gépi programozásban - is ezen a felfedezésen nyugszik. Itt akár az emberi genomot is említhetnénk, mint egy molekuláris elemekből összeépített, aminosav bázisokba kódolt, formális nyelven megírt szoftvert.
*
Vegyünk egy egyszerű példát: a számok négyzetgyökét. Definíciónk szerint egy
szám négyzetgyöke az a eredmény, amit önmagával összeszorozva a számot kapjuk.
Ez egy inverz definíció, mert nem a négyzetgyök vonást, mint műveletet
definiálja, hanem csak a végeredményt. Az, hogy a gyakorlatban miként oldjuk meg a
feladatot, az a definíció szempontjából lényegtelen. A megoldásunk helyes, ha a definíciónak megfelelő eredményt kaptuk.
A négyzetgyök eredménye alatt általában egy pozitív természetes számot értenek, pedig a definíció szerint, a 9 négyzetgyökének nem csak a 3, hanem a -3 is megfelelne. Gyanúm szerint az itt tapasztalható eltérés a fizikai világhoz való kapcsolatunk miatt alakult így, bár használhatók lennének a negatív gyökök is, de erre a gyakorlati életben ma sincs sok példa.
A fizikai világban a negatív számoknak csak elméleti alapja van, a negatív fogalmát is mi találtuk ki. A fizikai realitásban a "semminél is kevesebb" fogalma nehezen értelmezhető, ezért a negatív számokat őseink elvetették (bár számtani műveletekben a kivonást ismerték). Az ókori görögök a számokra úgy tekintettek, mint valami, amiket ábrázolni is lehet. Így voltak tört számok és természetes számok, de nem volt se nulla, se negatív szám. Azért meg kell jegyezni, hogy -n-et értelmezték, csak nem hívták számnak. Tehát értették, mit jelent az, hogy 8-2. Meg tudtak oldani egyenleteket, pl.: 2x+10=4, de a végeredményt inkább nem is írták le, mivel értelmezésükben a negatív nem szám. Az i.e. VII. században az indiaiak és később Fibonacci is megengedte a negatív számokat, és úgy tekintettek rájuk pénzügyi számításokban, mint tartozások.
A négyzetgyök példájához visszatérve, sokáig gondot okozott a negatív számok
gyökének értelmezése és csak a XVI. században merült fel annak igénye, hogy ezzel
számoljanak, ugyanis a
harmadfokú egyenletet már nem lehet megoldani a
komplex számok
ismerete nélkül.
A matematika fejlődésének vonalán eljött a pont, amikor megértették, hogy bizonyos problémáknak nem egy, hanem több helyes megoldása létezhet és ezeket valahogy kezelhető formában kellett tartani.
Azt, hogy a négyzetre emelés nem kölcsönösen egyértelmű művelet, már nagyon
rég tudjuk (3-nak és -3-nak is 9 a négyzete), emiatt a gyökvonásnak eleve több
eredményű műveletnek kellene lennie - de történelmileg a negatív számok elvetése miatt, a megoldás egyik felét kidobták. Számomra egy érdekes kérdés, mi lett
volna ha abba az irányba indultak el elődeink, hogy a gyököket kettős
számokként jelölik, hiszen akkor nem lett volna szükség a komplex számok
megalkotására sem. Ekkor a másodfokú egyenletek megoldásánál kiadódó két
érték, gyakorlatilag egy szám és így eljutottunk volna a többértékű számok matematikájához.
Mire jó mindez?
Ahogy a bevezetőben írtam, a matematikánk agyunk logikai fejlettségét tükrözi. A többértékű számok használatával is ugyanoda jutunk, ahol jelenlegi tudományunk tart, nevezetesen: problémákra adunk matematikai megoldást, de a módszer tudatosságunkra való visszahatása miatt kicsit máshogy fejlődött volna a logikánk is.
A mai ember szereti, ha egy kérdésre "egy darab" egyértelmű választ kap és a kettő, vagy több helyes válasz inkább zavarja, mintsem a lehetőségek szabadságát lássa benne. Ha a tudatunk számára ez utóbbi válik természetessé, nagyon könnyen eljutunk a problémamegoldás egy olyan szintjére, amikor a nagyszámú megoldások teréből kell kiválasztanunk - valamilyen kritériumok szerinti - optimális megoldásokat. A műszaki fejlesztés, az informatika vagy a közgazdaságtan már ma is ezen az úton jár, aktívan használja a többértékű logikát, nagyon bonyolult matematikai apparátusok bevonásával. Az átlagember, saját életének problémamegoldásában egyelőre még nem jutott el eddig.
Amikor egy megoldandó szituációt elkezdünk többmegoldású térnek látni,
tudatunk működése azonnal ugrik két szintet, hiszen az addigi lineáris,
műveleti sorrendben kötött gondolkodást felváltja a nemlineáris, többsíkú
problémamegoldás. Ahogy egy fiatal programozó megalkotta az
5D Sakkot, a gondolkodásunk 5-dimenzióssá transzformálásával a problémarendszereinkre való
rálátásra, és azok megoldására egészen más lehetőségek nyílnak. Ez a kis játék nagyon jól szemlélteti a fraktális megoldáskeresés algoritmusait: a játék szituációban az egy jó
megoldás keresése helyett a több lehetséges, helyes megoldás optimumkeresése lép
előtérbe, ugyanakkor gondolkodásunk linearitása átalakul egy szerteágazó
fraktális rendszerré.
* * *
Kapcsolódó irodalom: